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2005-08-18 [長年日記]
■ ４次元
４次元空間を３次元空間＋時間軸、と定義する話はよくあるが、そうすると３次元空間のうち１軸に平行な長さをもったものを時間軸に平行な方向に回転することもできるんじゃないか。そうすると１mは何秒になってしまうのか？
という問いがはてなに出てた。
考えてるがうまい説明ができない。数学得意な人ヒントください。
回転とか距離とか運動を定義するうえで１軸が時間なのは不都合なんだよな。たとえば、距離がユークリッド距離のことだとすると、違う単位の軸が含まれる空間上ではユークリッド距離が定義できないからダメ、とか。ベクトルの内積が定義できるかどうか？線形写像できるかどうか？
単位の話はまたややこしいけど。時間は光速を通じて距離と関係する概念なので、距離と時間をベクトル空間の基底とすることに無理があるとか？
なんにせよ、３次元＋時間な４次元空間を仮定するのは勝手だが、ある条件を満たしてないから、その中で「もの」の「回転」とかが定義できない、みたいな話だと思うんだけど。
あるいは単純に、４次元とはいいながら頭で理解する上で３次元空間へマッピングして考えてるから回転なんて概念が出てくるので、実際は距離も時間もなにも、どうマッピングするか定義する人が決めれる、とかそういう話なのか。
もうちょい考えてみよう。
ユークリッド空間における「回転」の数学的な定義は知らないんですけど，ふつう僕らがイメージする「回転」は：<br><br> ・線形変換であって，<br> ・変換前後で変化しない点＝『中心』が1点だけ存在し，<br> ・『中心』を原点としたときの単位ベクトル群が，変換<br> 後も同じく単位ベクトルであり続ける<br><br>ぐらいで定義できるのかな，と。んで，相対性理論で定義される(空間＋時間)の4次元はリーマン空間(?)なので，上記の「回転」はそのまま定義できない。…という事じゃないでしょうか。少なくとも，平行線定理が成立しないと上記の定義は破綻するような気がしますし。<br><br>ところがユークリッド幾何学はリーマン幾何学の特殊ケースであるらしいので，リーマン幾何学における「回転」の定義もあるのかもしれません。それをユークリッド幾何学にあてはめると上記のような定義として書けるだけで，元々の定義は複雑怪奇すぎて頭の中でイメージできるようなものじゃないのかも…。<br><br>でも結局は 時間＝光速÷距離 で変換可能ということなのかも。1mとは光がN時間で進む距離でしかない，という事で。<br><br>つまるところ，よく分かりません:-)
ありがとう。光速を媒介にして変換するってのが一番直感的かも。<br><br>運動を定義するには時間微分が定義できないといけないような気がするんだけど、時間軸方向には時間微分できないからそっち方向の運動は定義できない？とかいろいろ考えてますがよくわかりませんねえ。